The Journal of Symbolic Logic

Research Article

Pas d'imaginaires dans l'infini!

Anand Pillaya1 and Bruno Poizata2

a1 Department of Mathematics, University of Notre Dame, Notre Dame, Indiana 46556

a2 Mathématiqus, Université Paris VI, 75230 Paris, France

Dans Poizat [1981], le second auteur a montré qu'un sous-groupe infiniment définissable d'un groupe stable était intersection de sous-groupes définissables; il a posé la question de savoir si une relation d'équivalence E, infiniment définissable dans un modèle M d'une théorie stable T, était conjonction de relations d'équivalence définissables. Nous allons voir ici que c'est presque exact: c'est vrai si T est totalement transcendante, et, dans le cas général de stabilité E a toujours un raffinement E 1 (plus précisément, E 1 est la conjonction de E et de la relation “x et y ont même type”) qui a cette propriété; cela montre que cette relation E n'introduit pas d'imaginaires d'une nature vraiment différente de celle des imaginaires de Shelah: dans une théorie stable, un imaginaire infinitaire n'est rien d'autre qu'un ensemble d'imaginaires finis.

La démonstration du théorème principal de cette note s'appuie lourdement sur la construction M eq de Shelah, la machinerie de la déviation, les paramètres imaginaires canoniques pour la définition d'un type stable, etc…. Pour tout cela, les références adéquates sont Shelah [1978], Pillay [1983], et Poizat [1985, Chapitre 16].

Nouscommençons par préciser ce que nous entendons par “relation d'équivalence infiniment définissable”: une collection de formules e( , ȳ), et ȳ étant de longueur n, telle que, pour tout modèle M de T, les couples (, ȳ) qui les satisfont toutes forment une rélation d'équivalence E.

(Received April 23 1986)