Mathematika

Table of Contents - July 2012 - Volume 58, Issue 02  

Research Article

MOYENNES DE FONCTIONS ARITHMÉTIQUES DE FORMES BINAIRES

Régis de la Bretèchea1 and Gérald Tenenbauma2

a1 Institut de Mathématiques de Jussieu, UMR 7586, Université Paris Diderot-Paris 7, UFR de Mathématiques, case 7012, Bâtiment Chevaleret, 75205 Paris Cedex 13, France (email: breteche@math.jussieu.fr)

a2 Institut Élie Cartan, Université de Nancy 1, BP 239, 54506 Vandœuvre Cedex, France (email: gerald.tenenbaum@iecn.u-nancy.fr)

Abstract

Extending classical results of Nair and Tenenbaum, we provide general, sharp upper bounds for sums of the type

\[ \sum _{\substack {{u\lt m\leq u+v}\\ {x\lt n\leq x+y}}} F(Q_1(m,n),\ldots , Q_k(m,n)) \]

where x,y,u,v have comparable logarithms, F belongs to a class defined by a weak form of sub-multiplicativity, and the Q j are arbitrary binary forms. A specific feature of the results is that the bounds are uniform within the F-class and that, as in a recent version given by Henriot, the dependency with respect to the coefficients of the Q j is made explicit. These estimates play a crucial rôle in the proof, published separately by the authors, of Manin’s conjecture for Châtelet surfaces.

Résumé

Généralisant des résultats classiques de Nair et Tenenbaum, nous fournissons des majorations générales et optimales pour des sommes du type

\[ \sum _{\di {u\lt m\leqslant u+v}{x\lt n\leqslant x+y}} F(Q_1(m,n),\ldots , Q_k(m,n)) \]

où les paramètres x,y,u,v ont des logarithmes comparables, F décrit une classe de fonctions définie par une condition de sous-multiplicativité faible, et les Q j sont des formes binaires arbitraires. Ces résultats sont caractérisés par leur uniformité dans la classe des fonctions F et, à l’instar d’une version récente donnée par Henriot, une dépendance explicite en fonction des coefficients des Q j . Ces estimations jouent un rôle crucial dans la preuve, publiée séparément par les auteurs, de la conjecture de Manin pour les surfaces de Châtelet.

(Received March 08 2011)

(Online publication January 19 2012)

MSC (2010)

  • 11N37;
  • 11N56 (primary);
  • 11D45 (secondary)