Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu

Research Article

Théorème de Paley—Wiener pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif p-adique

Patrick Delormea1

a1 Institut de Mathématiques de Luminy, UMR 6206 CNRS, Université de la Méditerranée, 163 Avenue de Luminy, 13288 Marseille Cedex 09, France (delorme@iml.univ-mrs.fr)

Résumé

Soit G un groupe réductif p-adique et U0 le radical unipotent d'un sous-groupe parabolique minimal de G. Nous introduisons une transformation de Fourier pour l'espace des fonctions de Whittaker lisses sur G et à support compact modulo U0. Nous en déterminons l'image. La preuve suit celle d'Heiermann pour les fonctions sur le groupe.

Au cours de la preuve, une formule d'inversion est prouvée. Celle-ci permet de montrer qu'une représentation lisse irréductible de G, qui possède modèle de Whittaker dans les fonctions de Whittaker à support compact modulo U0, est cuspidale.

Ce travail nous a donné l'opportunité de préparer un cadre pour l'analyse harmonique sur les espaces symétriques réductifs p-adiques: B-matrices et terme constant, propriétés des paquets d'ondes.

Abstract

Let G be a p-adic reductive group and let U0 be the unipotent radical of a minimal parabolic subgroup of G. We introduce a Fourier transform defined on the space of smooth Whittaker functions on G which are compactly supported modulo U0. We determine its image. The proof follows the proof of Heiermann for the functions on the group.

During the proof, we establish an inversion formula. This formula allows us to prove that an irreducible smooth representation of G, which has a Whittaker model in the space of smooth Whittaker functions on G which are compactly supported modulo U0, is cuspidal.

This work gave us the opportunity to prepare a framework for the study of harmonic analysis on p-adic reductive symmetric spaces: B-matrices and constant term; a study of wave packets.

(Received May 01 2009)

(Revised July 16 2010)

(Accepted March 05 2011)

Mots clés

  • groupe réductif;
  • corps local non archimédien;
  • modèle de Whittaker;
  • Théorème de Paley–Wiener;
  • terme constant

Keywords

  • reductive groups;
  • non-Archimedean local fields;
  • Whittaker models;
  • Paley–Wiener Theorem;
  • constant term

AMS 2010 Mathematics subject classification

  • Primary 22E50