Ergodic Theory and Dynamical Systems



Il n'y a pas de classification borélienne des homéomorphismes de Brouwer


FRÉDÉRIC LE ROUX a1
a1 Université Paris Sud, Bat. 430, 91405 Orsay Cedex, France (e-mail: leroux@topo.math.u-psud.fr)

Abstract

On considère l'espace {\mathcal B}_2 des homéomorphismes du plan obtenus en recollant deux translations, muni de la topologie compacte-ouverte. On construit une famille dans {\mathcal B}_2, continûment indexée par les éléments du Cantor \{0,1\}^\mathbb{Z}, pour laquelle les classes de conjugaison correspondent aux orbites du décalage (ou « shift ») sur \{0,1\}^\mathbb{Z}. Ceci permet de montrer qu'il n'y a pas de classification borélienne de la relation de conjugaison sur {\mathcal B}_2.

Abstract

In this paper, we consider the space {\mathcal B}_2 of the planar homeomorphisms that are obtained by gluing two translations together, endowed with the compact-open topology. We construct an embedding of the Cantor set \{0,1\}^\mathbb{Z} in {\mathcal B}_2, such that in this Cantor set of homeomorphisms the conjugacy classes are given by the orbits of the shift map on \{0,1\}^\mathbb{Z}. As a classical consequence, we explain why there cannot be any borelian classification of the conjugacy relation on the space {\mathcal B}_2.

(Received January 15 1999)
(Revised March 8 1999)