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Published online by Cambridge University Press: 05 August 2016
We attempt to grasp the mathematics behind the planetary theories of the Syrian astronomer Ibn al-Šāṭir (1304–1375) in his treatise Nihāyat al-Sūl. Following the astronomers of the Marāgha school, by composing circular movements with constant angular velocity, Ibn al-Šāṭir attains two goals. He eliminates the need of excentrics and equant points in astronomy; but he also describes longitudes and latitudes with a unique method, with no more orbs than what is strictly necessary for the longitudes. A better understanding of rotation as a spatial transformation enables this ultimate economy of thought. In our commentary, we take Venus as an example offering an interesting problem about the latitudes. This is an opportunity to give a critical edition of the chapter of the Nihāyat al-Sūl dedicated to the latitudes of Mercury and Venus.
Nous avons tenté de restituer ici les mathématiques qui président aux théories planétaires exposées par l'astronome syrien Ibn al-Šāṭir (1304–1375) dans son ouvrage Nihāyat al-Sūl. Dans la lignée des astronomes de l’école de Marāgha, en composant des mouvements de rotation à vitesse angulaire constante, Ibn al-Šāṭir atteint deux objectifs. Non seulement il élimine tout recours aux excentriques et aux points équants; mais il décrit aussi longitudes et latitudes planétaires par une méthode unique, sans adjoindre aucun orbe en sus des orbes nécessaires à la description des seuls mouvements en longitude. Une meilleure compréhension des rotations comme transformations spatiales lui permet cette grande économie de moyens. Dans notre commentaire, nous prenons pour exemple la planète Vénus dont les latitudes posent un problème intéressant. C'est aussi l'occasion d'offrir l’édition critique d'un chapitre de la Nihāyat al-Sūl consacré aux mouvements en latitude de Mercure et Vénus.
* Nous remercions Roshdi Rashed sans qui ce travail n'aurait pu voir le jour.
1 Cf. Thābit Ibn Qurra, Œuvres d'astronomie, édition, traduction et commentaire par Régis Morelon (Paris, 1987), pp. xlvi–lxxv et 27–67.
2 Cf. Olaf Pedersen, A Survey of the Almagest (Odense, 1974), p. 147.
3 Al-Zarqālluh (Azarquiel) avait observé que l'apogée solaire se meut d'un degré tous les 279 ans par rapport aux étoiles fixes, elles-mêmes étant animées du mouvement de précession (cf. Juan Vernet et Julio Samso, “Les développements de la science arabe en Andalousie”, dans Roshdi Rashed [éd.], Histoire des sciences arabes, 3 vols. [Paris, 1997], tome 1: Astronomie, théorique et appliquée, pp. 271–99, aux pp. 285–7). Or
$$\displaystyle{1 \over {70}} + \displaystyle{1 \over {279}} \simeq \displaystyle{1 \over {60}}.$$
4
Toutes les valeurs numériques seront données en sexagésimal, et la virgule sert alors à séparer les rangs. Par exemple,
$359;\,45,\,40 = 359 + \displaystyle{{45} \over {60}} + \displaystyle{{40} \over {{{60}^2}}}.$
5 Ainsi, le mouvement de Vénus est couplé au mouvement du Soleil puisque la vitesse angulair e de son orbe incliné par rapport au parécliptique est ω m ⊙ – ω a . Le fait que le mouvement des planètes soit couplé au mouvement du Soleil est un défaut essentiel de tous les modèles pré-coperniciens.
6 C'est-à-dire en une année tropique.
7 En fait, comme on va le voir, le point imaginaire suit le Soleil moyen et il est donc situé un peu à l'Ouest du Soleil au moment de l’équinoxe.
8 On adopte ici la convention française quant au signe de l’équation du temps E.
9 Une remarque de Kennedy et Roberts ( Kennedy, Edward S. et Roberts, Victor, “The planetary theory of Ibn al-Shaṭir”, Isis, 50 [1959]: 227–35Google Scholar, à la p. 232; repr. dans Edward S. Kennedy et Imad Ghanem, Ibn al-Shāṭir, An Arab Astronomer of the Fourteenth Century [Alep,1976]) au sujet du zīj d'Ibn al-Šāṭir le confirme.
10 http://www.imcce.fr/fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos.php, choisir “coordonnées moyennes de la date”).
11 Cf. Pedersen, A Survey of the Almagest, p. 84–9.
12 On le montre aisément par le calcul en posant z −1 = OP′5 + P 5 P cos(θ p – e c (θ c )) et en remarquant que la quantité à maximiser tan2(e(θ c , θp )) est alors un polynôme de degré 2 en z.
13 Ibn al-Haytham lui-même, dans un ouvrage inégalé sur l'astronomie mathématique, avait renoncé à une tâche semblable; cf. Roshdi Rashed, Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, Vol. V: Ibn al-Haytham, Astronomie, géométrie sphérique et trigonométrie (Londres, 2006), pp. 444–7.
14 Sur cet autre ouvrage de Ptolémée, cf. Murschel, Andrea, “The structure and function of Ptolemy's physical hypotheses of planetary motion”, Journal for the History of Astronomy, 26 (1995): 33–61 Google Scholar.
15 On a suivi l'interprétation des méthodes de Ptolémée donnée dans Pedersen, A Survey of the Almagest, et Noel M. Swerdlow, “Ptolemy's theories of the latitude of the planets in the Almagest, Handy Tables, and Planetary Hypotheses”, dans Jed Z. Buchwald et Allan Franklin (éds.), Wrong for the Right Reasons (Springer-Verlag Netherlands, 2005), pp. 41–71.
16 Ibn al-Šāṭir utilise deux mots distincts pour désigner l'apogée: awğ et dirwa. Nous traduirons le premier par “Apogée” (avec la majuscule) et le second par “apogée”; la nuance n'importe guère à la compréhension de ce chapitre. D'ailleurs, il n'y a qu'un seul mot pour désigner le périgée, ḥaḍīḍ.
17 Les caractéristiques des modèles décrits dans les deux paragraphes suivants sont celles que nous avons restituées dans notre commentaire mathématique.
18 Ici, le manuscrit porte le mot “épicycle”, cf. texte arabe. C'est pourtant le plan du rotateur qui doit subir l'inclinaison de 3°30; l’épicyle en hérite par composition.
19 Il est difficile de donner un sens précis à ces deux valeurs. Peut-être 1°3′ désigne-t-elle la latitude Nord maximale atteinte par Vénus quand le centre de l’épicycle est à la queue: le diamètre de l’épicycle passant par son apogée est alors incliné de 2°30′ par rapport au plan de l’écliptique, et on a
$$1^{\circ} 3^{\prime} \simeq 2^{\circ} 30^{\prime} \times \displaystyle{{43;33} \over {60 + 43;33}}.$$
La valeur 8°40′ semble en revanche être erronée, bien que les latitudes de Vénus puissent dépasser cette valeur dans le modèle fondé sur l’“amendement fait par les Modernes”.
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L’équation du déplacement est, pour chaque astre, l'angle
$((\overrightarrow {OC}, \,\overrightarrow {OA} )-{\theta _\ell} )$
de notre figure 7. Le raisonnement peu rigoureux d'Ibn al-Šāṭir est à peu près le suivant. Pour chaque astre, aussi bien que pour la Lune qu'il a traitée dans un chapitre antérieur, l'inclinaison de l'orbe incliné a peu d'influence sur le mouvement en longitude (l’équation du déplacement, qu'il sait calculer, est faible). Donc les inclinaisons des autres orbes auront a fortiori une influence négligeable sur les mouvements en longitude.
* Cinq manuscrits ont servi à cette édition: Oxford, Bodleian Library, Marsh 139, fols. 33v–35v [أ], Marsh 290, fols. 34v–36v [ب], Marsh 501, fols. 36v–39r [ج], Hunt. 547, fols. 44v–46r [د] ; Leyde, Or. 194, fols. 55r-58v [ه]. Ils sont identifiés dans l'apparat critique par les lettres notées entre crochets droits.
